Matematica

Quanto lontano puoi vedere una meteora?

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La maggior parte fa domande di vario tipo, la maggior parte delle quali è abbastanza semplice rispondere (in effetti, si potrebbe rispondere a molte domande su Google, suggerimento suggerimento). Ma a volte ricevo una domanda a cui è più difficile rispondere, o anche una che mi sono posto su me stesso ma che non sono mai riuscito a capire.

Quindi ero piuttosto incuriosito quando ho ricevuto una domanda da Bad Reader Dean Lewis sulle meteore. Durante la pioggia di meteoriti delle Perseidi nel 2018 era lontano dalla sua famiglia, separato da circa 1.000 chilometri. Se avesse visto una meteora, era possibile che potessero vedere la stessa dal loro luogo più lontano?



La risposta breve è: Sì! La risposta lunga è... matematica. Matematica bella e divertente.

E visto che, quando questo articolo viene pubblicato, la pioggia di meteoriti Geminidi annuale del 2018 raggiunge il picco stasera, penso che sia appropriato capirlo.

Corso accelerato di astronomia: meteore, meteoroidi e meteoriti, oh mio!

Se la Terra fosse perfettamente piatta, in linea di principio potresti vedere una meteora fino a qualsiasi bordo della Terra. Finché sei sopra la terra, anche un po', la tua linea di vista raggiunge ogni centimetro quadrato del pianeta dalla tua parte, quindi ogni meteora è visibile a tutti. In realtà, l'aria non è perfettamente trasparente, quindi a una certa distanza guardi attraverso così tanto fango che non riesci a vedere nulla.

Tuttavia, la Terra non è piatta. Sul serio! È rotondo. E l'atmosfera lo circonda come una conchiglia, assottigliandosi con l'altezza e alla fine esaurendosi; quell'altezza dipende dalla tua definizione di spazio. Tuttavia, possiamo barare un po' poiché conosciamo la scienza: le meteore come quelle delle piogge tendono a bruciare a circa 100 chilometri dal suolo. Quell'altezza dipende da molte cose, incluso quanto è grande il meteoroidi (i frammenti solidi di detriti interplanetari che sfrecciano nello spazio) sono, quanto velocemente si muovono, con quale angolo entrano nell'atmosfera e così via. Ma chiamiamola 100 km.

Il massimo che una meteora può essere a te è se sei direttamente sotto di essa, e poi è 100 km verso l'alto (al tuo zenit). Se brucia più lontano dallo zenit, allora deve essere più lontano da te. Il punto più lontano in cui puoi vedere una meteora, è logico, è quindi se è esattamente all'orizzonte.

La sua geometria assomiglia a questa (nota: NON in scala):

Schema che mostra la geometria di un osservatore che osserva una meteora che brucia. Credito: Phil PlaitIngrandire

Schema che mostra la geometria di un osservatore che osserva una meteora che brucia. Credito: Phil Plait

Puoi vedere la piccola figura umana stilizzata in piedi sulla superficie della Terra curva - diciamo che sei tu - con l'atmosfera (anch'essa curva) sopra di loro. In questo diagramma, R è il raggio della Terra (6.4000 km), h è l'altezza di combustione della meteora (100 km) e d è la distanza da te alla meteora. A è l'angolo tra la tua posizione sulla Terra e la posizione della meteora sopra di essa, e l corsivo (come in lunghezza) è la distanza che dovresti percorrere per avere la meteora direttamente sopra di essa (lo so che sembra una cosa strana volerlo sapere, ma abbi pazienza). Stranamente, puoi calcolare tutto ciò di cui hai bisogno qui senza sapere d, ma dai, è bello sapere quanto è lontana la meteora, giusto?

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La chiave di tutto questo è vedere che l'angolo tra la meteora, te e il centro della Terra è un angolo retto. Questo perché la meteora è all'orizzonte come la vedete voi (o, se preferite un gergo divertente, sulla linea tangente del cerchio interno dove R la interseca). Questo rende il triangolo un triangolo rettangolo, e se ricordi i tuoi calcoli del liceo, significa che puoi trovare tutti i lati e gli angoli!

Ricordare il teorema di Pitagora ? In un triangolo rettangolo, il quadrato della lunghezza dell'ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati*. Nel nostro triangolo, l'ipotenusa è R+h e gli altri lati sono R e d.

Così

(R+h)2= d2+ R2

oppure, moltiplicando il lato sinistro (usare FOGLIO ):

R2+ 2Rh + h2 = d2+ R2

Risolvi per d per vedere quanto è lontana la meteora da te. Nota che R2 è su entrambi i lati, quindi annullali per ottenere

D2= 2Rh + h2

o

d = radice quadrata (2Rh + h2)

Bene, conosciamo tutti quei numeri! Spingi e sbuffi, piccola:

d = radice quadrata (2 x 6.400 x 100 + 10.000) = 1.136 km

Ah! Ciò significa che se vedi una meteora all'orizzonte, è a oltre 1.100 chilometri di distanza! È una lunga strada e tecnicamente la più lontana da cui puoi vedere una meteora da terra.

Ora troviamo la l corsiva. Per prima cosa dobbiamo conoscere l'angolo A. Questo richiede un po' di trigonometria. Ci sono molti identità trigonometriche puoi usarlo per capirlo, ma il mio preferitoè che in un triangolo rettangolo il seno di un angolo è la lunghezza del cateto opposto divisa per la lunghezza dell'ipotenusa. Quindi, se otteniamo quel rapporto, possiamo prendere il seno inverso (o arcoseno) per ottenere l'angolo.

sin (A) = d / (R + h)

così

A = senza-1(d / R + h)

Plug-n-chug di nuovo, e ottengo A = 10°. È un pezzo decente della superficie terrestre!

E ora possiamo scrivere la l in corsivo. Ci sono 360° intorno alla Terra, e la circonferenza della Terra è 2 x pi x raggio = 40.192 km, quindi ci sono

40.192 km / 360° = 112 chilometri per grado

il che significa, a sua volta, 10° = 1.120 chilometri. È abbastanza vicino a d, il che non è troppo sorprendente. I disegni sono esagerati, ma in realtà il guscio d'aria sopra di noi è piccolo rispetto alle dimensioni della Terra. Se facessi i disegni in scala, vedresti che d e l sono davvero molto vicini in lunghezza.

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OK, quindi perché sono così eccitato e preoccupato per aver trovato l? A causa della domanda originale! Se dopo tutta quella matematica hai dimenticato, quanto possono essere lontane due persone e vedere ancora la stessa meteora?

Bene, in quel caso la meteora sarebbe direttamente tra di loro e su ciascuno dei loro rispettivi orizzonti. Quella geometria assomiglia a questa:

Schema che mostra la geometria di due osservatori che osservano una meteora che brucia esattamente tra di loro. Credito: Phil PlaitIngrandire

Schema che mostra la geometria di due osservatori che osservano una meteora che brucia esattamente tra di loro. Credito: Phil Plait

AHA! Ora capisci perché lo voglio! La distanza tra le due persone è solo 2 x l! Quindi ora abbiamo la risposta:

Affinché due persone possano vedere la stessa meteora, non possono trovarsi a più di 2 x 1.120 = 2.240 chilometri di distanza. Ad esempio, è abbastanza vicino alla distanza tra Washington, DC e Denver. Oh.

Per inciso, per un cambio di prospettiva (letteralmente), questo significa che dal punto di vista della meteora, può vedere un tratto della Terra largo 2.240 chilometri (come in DC sul lembo orientale della Terra e Denver su quello occidentale). È piuttosto interessante.

E questo ci porta alla vera risposta alla domanda di Dean: se fosse a 1.000 km dalla sua famiglia, allora sì, tecnicamente potrebbero vedere la stessa meteora. Che ne dici di quello?

Ora questo presuppone di nuovo che l'aria sia perfettamente limpida e tutto il resto, che in realtà è essenzialmente impossibile. Quindi questa matematica rappresenta una situazione ideale (compresa l'idea che la meteora sia esattamente tra di loro).

Siamo più realistici. Diciamo che la meteora brucia nel cielo ad un'altitudine di 45° sopra l'orizzonte per entrambi gli osservatori. Quanto sarebbero distanti l'uno dall'altro? Bene, sempre supponendo che la meteora sia esattamente tra di loro, la geometria è più simile a questa:

Schema che mostra la geometria di un osservatore che osserva una meteora che brucia a 45° sopra l'orizzonte. Credito: Phil PlaitIngrandire

Schema che mostra la geometria di un osservatore che osserva una meteora che brucia a 45° sopra l'orizzonte. Credito: Phil Plait

Questo è in realtà più difficile da risolvere, ma conosco un altro trucco: se assumiamo che l sia piccolo, allora la curvatura della Terra non sarà importante. Ad esempio, se voglio conoscere la distanza tra due alberi nel mio giardino, non mi interessa che la Terra sia curva. Su una distanza così piccola posso presumere che sia piatto. Facciamo questa ipotesi qui.

In tal caso, abbiamo un altro triangolo rettangolo, ma questa volta l'angolo retto è quello sotto la meteora. L'ho anche etichettato nel diagramma con la piccola notazione quadrata. Quindi se questo è un angolo di 90°, e il nostro angolo con la meteora è di 45°, allora anche l'ultimo angolo (dalla meteora all'osservatore) è di 45°. Ciò significa che questo deve essere un triangolo isoscele, quindi l e h sono uguali! Dal momento che sappiamo che h è 100 km, allora deve anche l.

E questo significa che la distanza tra i nostri due osservatori è doppia, o 200 km.

Per inciso, in questo caso la distanza dalla meteora è di circa 141 km. Lascio confermando ciò come esercizio al lettore.

In linea di principio, questo significa che se sai quanto è alta sull'orizzonte una meteora e l'altitudine alla quale è bruciata, puoi calcolarne la distanza (o se conosci la distanza puoi ottenere la sua altezza). Quella trigonometria è piuttosto complicata, però, e penso di averti dato abbastanza matematica per oggi.

Ma è bello pensare che un po' di matematica del liceo possa avere un'applicazione così divertente. E ammetto che è poetico e romantico sapere che, finché la separazione non è troppo lontana, è possibile condividere il vedere una stella cadente con qualcun altro. Che bel pensiero.


* Nel Il mago di Oz , lo spaventapasseri ha sbagliato dopo ha un cervello.

Di corso Ho un'identità trigonometrica preferita. Qual è il tuo?



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